[[몬티홀]] 항목에 대한 내용추가 논의 제안

by 홍승규 posted Nov 28, 2017
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[몬티홀] 항목에 아래 내용에 대해 추가하고자 하였으나,

paro1923님에 의해 배척되었기에 + 아마도 이 문제로 차단제재까지 부과받았기에

이곳에 그 내용을 공개하고 여러분의 의견을 구합니다.

 

1. 추가하고자 했던 내용(전문)


=== 몬티홀문제의 재해석 또는 응용·변형(?)에 관한 논의 ===

 

몬티홀문제의 바꾸면 2/3라는 식의 풀이와 관련된 반론 중에는 직관적으로 바꾸든 안 바꾸든 1/2이 된다고 말하는 의견 이외에도 나름은 합리적인 논증에 기초해서 바꾸는 경우가 반드시 2/3인 것은 아니라는 의견도 있다. 후자의 입장으로서 주목할 만한 인물이 Morgan, J. P와 Gillman, Leonard 등인데, 이들은 이 문제에 대해 이렇게 설명했다고 한다.


만약 당신이 문1을 골랐을 때에 대해

사회자가 문3을 선호할 가능성이 확률 q라면(q는 0~1의 범위),

 

사회자가 문3을 열었을 때 자동차가 문1 뒤에 있을 확률인 q/3에 대해

사회자가 문3을 열었을 때 자동차가 문2 뒤에 있을 확률은 1/3이다.

 

그런데, 참가자가 문1을 골랐고, 사회자가 문3을 열었다면,

자동차는 문1에 있거나 문2에 있을 뿐이므로

위 2가지 경우가 발생가능한 전부이다.

 

따라서 당신이 문1을 골랐고, 사회자가 문3을 열었다면

문2에 자동차가 있을 확률, 즉 바꾸면 당첨될 확률은

(1/3) / (1/3 + q/3) = 1 / (1+q)가 된다.

 

다시 말해서

당신의 처음 선택이 정답일 때 사회자가 한 행동의 선호도가 확률q라면,

"바꾸면 언제나 2/3의 확률로 당첨된다는 결론은 q=1/2인 경우만을 말하고,

q값이 0부터 1로 변할 때에

당신이 선택을 바꾸면 당첨될 확률은 1/(1+q)에 의해 1/2부터 1까지 변경된다"

 

...는 결론이 도출된다.

 

...

 

몬티홀문제의 풀이도 잘 이해가 되지 않는데, 응용은 또 뭐냐 흑흑흑, 날 그냥 죽여 는 반응을 보이는 사람도 있겠고, 참가자가 처음 선택에서 당첨을 고를 확률이 1/3인데 사회자가 2개의 꽝 중 무엇을 제거하든 그게 참가자의 선택이 당첨일 확률과 무슨관계냐 고 반발하는 사람도 있을 것이다.

 

아무튼 이쪽 분야에 10년 이상 내공을 가졌다는 사람조차 이 내용이 몬티홀문제는커녕 확률론의 문제조차 아니라고 여길 정도니까, 몬티홀문제를 넘어 이 항목까지 이해한다는 게 쉬운 일은 아닐 수 있지만, 그래도 잘 따져보면 생각보다 간단한 이야기이다.

 

가령, 당신의 첫선택이 당첨인 모든 경우에 대해 그리고 오직 그 경우일 때에만

사회자가 코를 긁는다고 하자.

 

그렇다면 당신의 첫선택후 사회자가 코를 긁었다면

당신은 "아, 내가 처음 고른게 당첨이구나"라고 여기면 된다.

 

반대로 당신의 첫선택후 사회자가 코를 긁지 않는다면

당신은 "아, 내가 처음 고른게 당첨이 아니구나"라고 여기면 된다.

 

물론 당첨이면 코를 긁는다는 규칙은 없으니까 그런게 있으면 그냥 짜고치기니까

위 예시는 몬티홀문제가 아니다.

 

그러나 당신이 당첨이면 사회자가 상대적으로 왼쪽 문을 열 가능성이 q라는 건 어떨까?

 

우선 당신이 당첨일 때 사회가 왼쪽 문이든 오른쪽 문이든 균등하게 연다면 q=1/2이다.

그리고 이 경우에는 당신은 사회자가 왼쪽 문을 열었든, 오른쪽 문을 열었든

그 행동으로부터 당신이 현재 당첨일 확률에 관해 아무런 정보도 얻지 못한다.

그래서 선택을 유지하면 최초의 당첨률인 1/3, 바꾸면 2/3가 된다.

 

그러나 q=1/2이 아니라면,

그래서 사회자가 왼쪽 문을 여는 일정한 선호도 q를 상정할 수 있다면,

 

당신이 어떤 선택을 한 뒤, 사회자가 왼쪽 문을 열었다는 사실로부터

당신이 당첨이기 때문에 q의 확률로 왼쪽 문을 열었을 가능성 = q/3

당신이 당첨이 아니지만 오른쪽 문이 정답이기 때문에 왼쪽 문을 열었을 가능성 = 1/3

이라는 수식을 세울 수 있고,

 

사회자가 왼쪽 문을 열었다는 사실로부터 그 왼쪽 문이 정답인 경우는 없게 되므로

발생가능한 경우는 위 2가지가 전부라는 이유에서

 

당신이 당첨일 확률은 q/3 / (q/3+1/3) = q/(q+1)

당신이 꽝이고 오른쪽 문이 당첨일 확률은 1/3 / (q/3+1/3) = 1/(q+1)이 된다고 선언할 수 있다.

 

...

 

문헌에 따르면 이러한 몬티홀문제의 재해석·응용·변형에 대해 사반트는 반발했던 것으로 보인다. 또는 이러한 해석에 의하더라도 어차피 참가자가 q에 대해 어떤 정보를 제공받는다는 설정은 없기 때문에 그 q를 고려하는 수식은 실제로는 의미가 없고, 부득이하게 2/3 이외의 확률을 논할 수 없다는 게 사반트의 입장이라는 평가도 있다.

 

그리고 이러한 재해석이나 응용 등이 몬티홀문제의 룰에 충실한지 여부는 수학적인 이야기라기보다는 인문학적, 심리학적 이야기로까지 마구마구 나아갈 수 있기 때문에 더 이상 자세한 설명은 생략한다 여기서 멈추기로 한다.

[* 가령, 인간에게 양자택일 상황을 무한번 강요할 때, 각 선택을 동일비율로 한다는 보장은 없으므로 q=1/2로 단정되지 않는다는 점 등은 인간의 자유의지와 선택행동 사이의 관계에 관한 논의로서 단지 수학으로 다룰 수 있는 주제가 아니다.]

 

하지만 그럼에도 q값이 주어지거나 예측될 수 있는 경우들에서는 위 논의가 의미가 있기도 하고, 그럼에도 정작 국내의 몬티홀문제 관련 항목에서는 논의되고 있지 않아 수학전공자, 통계학 전공자들조차도 이게 몬티홀문제와 무슨 관계냐, 확률론에 부합하는 내용이냐는 등의 반응이 격하게 나온다는 점에서 소개할 가치는 있을 것으로 본다. 격한 반응에 대해서는 물론, 살포시 다음 영문위키 페이지 링크를 알려줄 것.

[https://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem#Other_host_behaviors 번역은 셀프라고 하면서 상대방을 괴롭힐 것]

 

 

2. paro1923님의 수정배제 이유코멘트

 

{REVERT}: 1.104 버전으로 돌리기: 여전히 분쟁 유발 요소가 있는 도발적 서술, 통째로 퍼온 느낌이 강한 작성

 

 

3. 제 질문작성 취지

 

우선,

위 서술은 앞서 소개한 영문위키 페이지에서도 다루고 있는 내용이지만,

그럼에도 그 내용은 어디서 퍼온 글을 가져다 붙였다거나

영문위키 내용을 번역해서 작성한 것이 아니라

제가 여기에 처음 작성한 내용이며

사회자가 코를 만지는 경우 등을 떠올려보라는 설명 등에서 근거로 제시한

영문위키의 설명 등과도 분명한 차이가 있습니다.

 

즉, "통째로 퍼온 느낌이 강하다"는 paro1923님의 느낌은 잘못됐다는 것입니다.

그러니 paro1923님이나 paro1923님과 같은 느낌을 받은 분이 있다면

제가 작성한 위 내용을 어디서 퍼왔다고 여기시는지

누구든 그 근거를 제시해주셨으면 좋겠습니다.

 

※ 국내문헌(한글로 된 자료)에서는 위 내용을 다루고 있지 않는 것으로 보입니다.

저는 위 영문위키를 보고서 '어, 이 말이 맞네'라고 위 내용을 작성한게 아니라

제가 이 문제를 위 내용과 같이 생각해 본 후 '이 생각이 맞지 않습니까?'라고 말하다가

거센 반발(그러나 정작 왜 반발하는지 합리적인 반박근거제시가 없었음)을 받던 중

몇몇 사람들로부터

"위 내용은 영문위키의 몬티홀문제 항목에서도 소개되고 있는 내용과 실질적으로 동일합니다"라는

응답을 받았고, 실제로 찾아가 보니 제가 생각한 그대로의 내용이었기에,

위 내용에 관한 교차검증이 끝났다는 취지로 이 내용을 항목에 추가하고자 한 것입니다.

 

 

 

다음으로,

위 서술의 어느 부분에 분쟁 유발 요소가 있는지 지적해 주셔도 좋습니다.

(아니, 좀더 정확히 말해서 '부당한' 분쟁 유발 요소가 있는지;

애초에 모든 서술은 누군가에 대해서는 분쟁 유발 요소입니다.

각자의 생각이 다른데 어느 하나를 제시하면 다른 사람은 불만을 가질 수 있죠.

다만, 그 불만이 정당한지가 문제일 뿐),

 

위 서술에서 이해가 안 되는 부분이 있거나 동의할 수 없는 부분이 있다면

말씀해 주세요. 응답하겠습니다. 단, 영문독해가 가능하다면, 그 이해곤란이나 부동의를

영문위키내용과 교차검증해 보시는게 도움이 됩니다. 독해가 불가능하시면 제가 돕겠습니다.


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